Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, BC=2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=\sqrt{15}a\). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng

* Hướng dẫn giải

Do SA vuông góc với mặt phẳng đáy nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng đáy. Từ đó suy ra: \(\left( \widehat{SC\,;\,\left( ABC \right)} \right)=\left( \widehat{SC\,;\,AC} \right)=\widehat{SCA}\).

Trong tam giác ABC vuông tại B có: \(AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=\sqrt{5}a\).

Trong tam giác SAC vuông tại A có: \(\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{\sqrt{15}a}{\sqrt{5}a}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SCA}=60{}^\circ \).

Vậy \(\left( \widehat{SC\,;\,\left( ABC \right)} \right)=60{}^\circ \).