Cho hàm số \(f\left( x \right)\) không âm, có đạo hàm trên đoạn \(\left[ 0\,;\,1 \right]\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=1, \left[ 2f\left( x \right)+1-{{x}^{2}} \right]{f}'\left...

* Hướng dẫn giải

Xét trên đoạn \(\left[ 0\,;\,1 \right]\), theo đề bài: \(\left[ 2f\left( x \right)+1-{{x}^{2}} \right]{f}'\left( x \right)=2x\left[ 1+f\left( x \right) \right]\)

\(\Leftrightarrow 2f\left( x \right).{f}'\left( x \right)=2x+\left( {{x}^{2}}-1 \right).{f}'\left( x \right)+2x.f\left( x \right)\)

\(\Leftrightarrow {{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right) \right]}^{\prime }}={{\left[ {{x}^{2}}+\left( {{x}^{2}}-1 \right).f\left( x \right) \right]}^{\prime }}\)

\(\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)={{x}^{2}}+\left( {{x}^{2}}-1 \right).f\left( x \right)+C\left( 1 \right)\)

Thay x=1 vào \(\left( 1 \right)\) ta được: \({{f}^{2}}\left( 1 \right)=1+C\Leftrightarrow C=0\)

Do đó, \(\left( 1 \right)\) trở thành: \({{f}^{2}}\left( x \right)={{x}^{2}}+\left( {{x}^{2}}-1 \right).f\left( x \right)\)

\(\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)-1={{x}^{2}}-1+\left( {{x}^{2}}-1 \right).f\left( x \right)\)

\(\Leftrightarrow \left[ f\left( x \right)-1 \right].\left[ f\left( x \right)+1 \right]=\left( {{x}^{2}}-1 \right).\left[ f\left( x \right)+1 \right]\)

\(\Leftrightarrow f\left( x \right)-1={{x}^{2}}-1\)

\(\Leftrightarrow f\left( x \right)={{x}^{2}}\).

Vậy \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}\text{d}x}=\left. \frac{{{x}^{3}}}{3} \right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}\).