Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có \(A\left( -1;1;6 \right), B\left( -3;-2;-4 \right), $C\left( 1;2;-1 \right), D\left( 2;-2;0 \right)\). Điểm \(M\left( a;b;c...

* Hướng dẫn giải

Ta có \({{C}_{\Delta ABM}}=AM+BM+AB\) mà AB không đổi suy ra \({{C}_{\Delta ABM}}\) nhỏ nhất khi AM+BM nhỏ nhất.

Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( -2;-3;-10 \right), \overrightarrow{CD}=\left( 1;-4;1 \right)\).

Xét \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0\Rightarrow AB\bot CD\). Gọi \(\left( \alpha  \right)\) qua AB và vuông góc với CD.

\(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(A\left( -1;1;6 \right)\) và nhận \(\overrightarrow{CD}=\left( 1;-4;1 \right)\) làm véc tơ pháp tuyến.

Suy ra \(\left( \alpha  \right)\) có phương trình là: x-4y+z-1=0.

Vì điểm M thuộc CD sao cho AM+BM nhỏ nhất nên \(M=CD\cap \left( \alpha  \right)\).

\(\left( \alpha  \right):x-4y+z-1=0\), CD có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 2 - 4t\\ z = - 1 + t \end{array} \right.\)

\(M = CD \cap \left( \alpha  \right) \Rightarrow M\left( {\frac{3}{2};0;\frac{{ - 1}}{2}} \right) \Rightarrow a + b + c = \frac{3}{2} + 0 + \frac{{ - 1}}{2} = 1\)