Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phươg trình \({{3}^{{{x}^{2}}-2x+1-2\left| x-m \right|}}={{\log }_{{{x}^{2}}-2x+3}}\left

* Hướng dẫn giải

Phương trình tương đương \({3^{{x^2} - 2x + 3 - (2\left| {x - m} \right| + 2)}} = \frac{{\ln \left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)}}{{\ln \left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}}\).

\( \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 2x + 3}}.\ln \left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = {3^{2\left| {x - m} \right| + 2}}.\ln \left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\).

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {3^t}.\ln t,\;t \ge 2\) là hàm số đồng biến nên từ phương trình suy ra 

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 3 = 2\left| {x - m} \right| + 2\\ \Leftrightarrow g\left( x \right) = {x^2} - 2x - 2\left| {x - m} \right| + 1 = 0 \end{array}\)

Có \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4x + 2m + 1\;khi\;x \ge m\\ {x^2} - 2m + 1\quad \quad khi\;x \le m \end{array} \right. \Rightarrow g'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 2x - 4\;khi\;x \ge m\\ 2x\quad \;\;khi\;x \le m \end{array} \right.\).

và \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\;khi\;x \ge m\\ x = 0\;khi\;x \le m \end{array} \right.\).

Xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: \(m \le 0\) ta có bảng biến thiên của g(x) như sau:

Phương trình chỉ có tối đa 2 nghiệm nên không có m thoả mãn.

Trường hợp 2: \(m \ge 2\) tương tự.

Trường hợp 3: 0 < m < 2, bảng biến thiên g(x) như sau:

Phương trình có 3 nghiệm khi \(\left[ \begin{array}{l} {\left( {m - 1} \right)^2} = 0\\ - 2m + 1 = 0 > 2m - 3\\ - 2m + 1 < 0 = 2m - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m = \frac{1}{2}\\ m = \frac{3}{2} \end{array} \right.\).

Cả 3 giá trị trên đều thoả mãn, nên tổng của chúng bằng 3.