Một chi tiết máy được thiết kế như hình vẽ bên. Các tứ giác ABCD, CDPQ là các hình vuông cạnh \(2,5\,\text{cm}\). Tứ giác ABEF là hình chữ nhật có \(BE=3,5\,\text{cm}\). Mặt bên...

* Hướng dẫn giải

Gọi hình chiếu của \(P,\,Q\) trên AF và BE là R và S. Vật thể được chia thành hình lập phương ABCD.PQRS có cạnh \(2,5\,cm\), thể tích \({{V}_{1}}=\frac{125}{8}\,c{{m}^{3}}\) và phần còn lại có thể tích \({{V}_{2}}\). Khi đó thể tích vật thể \(V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\frac{125}{8}+{{V}_{2}}\).

Đặt hệ trục Oxyz sao cho O trùng với F, Ox trùng với FA, Oy trùng với tia Fy song song với AD. Khi đó Parabol \(\left( P \right)\) có phương trình dạng \(y=a{{x}^{2}}\), đi qua điểm \(P\left( 1;\frac{5}{2} \right)\) do đó \(a=\frac{5}{2}\Rightarrow y=\frac{5}{2}{{x}^{2}}\)

Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với Ox và đi qua điểm \(M\left( x;0;0 \right),\,0\le x\le 1\) ta được thiết diện là hình chữ nhật MNHK có cạnh là \(MN=\frac{5}{2}{{x}^{2}}\) và \(MK=\frac{5}{2}\) do đó diện tích \(S\left( x \right)=\frac{25}{4}{{x}^{2}}\)

Áp dụng công thức thể tích vật thể ta có \({{V}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{25}{4}{{x}^{2}}dx}=\frac{25}{12}\)

Từ đó \(V=\frac{125}{8}+\frac{25}{12}=\frac{425}{24}\text{c}{{\text{m}}^{3}}\)