Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m+1 \right){{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?

* Hướng dẫn giải

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\)

\({y}'={{x}^{2}}+2\left( m+1 \right)x-\left( m+1 \right)\)

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\Leftrightarrow {y}'\ge 0\,\forall x\in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0}\\ {{\Delta ^\prime } \le 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1 > 0}\\ {{\Delta ^\prime } = {m^2} + 3m + 2 \le 0} \end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow - 2 \le m \le - 1\).

m là số nguyên dương \(\Rightarrow m\in \varnothing \).

Vậy không có giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu.