Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(\int_{0}^{3}{x}\cdot {{f}^{\prime }}(x)\cdot {{e}^{f(x)}}\text{d}x=8\) và f(3) = ln3. Tính \(\text{I}=\int_{0}^{3}{{{\text{e}}^{f(x)}}}\text{d}x\).

* Hướng dẫn giải

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = x}\\ {{\rm{d}}v = f'(x){{\rm{e}}^{f(x)}}{\rm{d}}x} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{d}}u = {\rm{d}}x}\\ {v = {{\rm{e}}^{f(x)}}} \end{array}} \right.} \right.\)

Khi đó \(\int_0^3 x \cdot f'(x){e^{f(x)}}{\rm{d}}x = \left. {x \cdot {e^{f(x)}}} \right|_0^3 - \int_0^3 {{e^{f(x)}}} {\rm{d}}x\)

\( \Rightarrow 8 = 3 \cdot {{\rm{e}}^{f(3)}} - \int_0^3 {{{\rm{e}}^{f(x)}}} {\rm{d}}x \Rightarrow \int_0^3 {{{\rm{e}}^{f(x)}}} {\rm{d}}x = 9 - 8 = 1\)