Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau: ​ Số nghiệm trong đoạn \(\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\) của phương trình...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t=2\sin 2x+1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,t\in \left[ 1;3 \right]\).

Khi đó phương trình trở thành f(t) = 1 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = {t_1} \in \left( {0;1} \right)\,\,\,\left( {k\,t/m} \right)\\ t = {t_2} \in \left( {1;3} \right)\\ t = {t_3} \in \left( { - \infty ;0} \right)\,\,\,\,\,\left( {k\,t/m} \right)\\ t = {t_4} \in \left( {3: + \infty } \right)\,\,\,\,\,\left( {k\,t/\,m} \right) \end{array} \right.\)

Xét hàm số \(g\left( x \right)=2\sin 2x+1\) trên \(\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\)

\(g'\left( x \right)=4\cos 2x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)

Ta có bảng biến thiên:

Vậy phương trình có 2 nghiệm