Cho \(x,y,\,z>0\); \(a,\,b,\,c>1\) và \({{a}^{x}}={{b}^{y}}={{c}^{z}}=\sqrt{abc}\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{16}{x}+\frac{16}{y}-{{z}^{2}}\) thuộc khoảng nào dưới đ...

* Hướng dẫn giải

Ta có: \({{a}^{x}}={{b}^{y}}={{c}^{z}}=\sqrt{abc}\)

\(\Rightarrow x{{\log }_{abc}}a=y{{\log }_{abc}}b=z{{\log }_{abc}}c=\frac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} = 2{\log _{abc}}a\\ \frac{1}{y} = 2{\log _{abc}}b\\ \frac{1}{z} = 2{\log _{abc}}c \end{array} \right.\\ \end{array}\)

Do đó: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\left( {{\log }_{abc}}a+{{\log }_{abc}}b+{{\log }_{abc}}c \right)=2{{\log }_{abc}}abc=2\)

Suy ra: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2-\frac{1}{z}\)

Ta có: \(P=\frac{16}{x}+\frac{16}{y}-{{z}^{2}}=16\left( 2-\frac{1}{z} \right)-{{z}^{2}}=32-\frac{16}{z}-{{z}^{2}}\) (z>0).

Mặc khác, \(\frac{16}{z}+{{z}^{2}}=\frac{8}{z}+\frac{8}{z}+{{z}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{\frac{8}{z}.\frac{8}{z}.{{z}^{2}}}=12\).

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow z=2\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 32-12=20 tại z=2.