Phương trình \({{\log }_{2}}\frac{x-2}{\sqrt{x-3}}={{\log }_{3}}\frac{\sqrt{x-3}}{x-2}\) có mấy nghiệm?

* Hướng dẫn giải

Ta có

\({\log _2}\frac{{x - 2}}{{\sqrt {x - 3} }} = {\log _3}\frac{{\sqrt {x - 3} }}{{x - 2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 3\\ {\log _2}\left( {x - 2} \right) + {\log _3}\left( {x - 2} \right) = {\log _2}\sqrt {x - 3} + {\log _3}\sqrt {x - 3} \end{array} \right.\left( 1 \right)\)

Xét hàm \(f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+{{\log }_{3}}t\) là hàm đồng biến trên khoảng \(\left( 0;+\infty  \right).\)

Khi đó từ hệ phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 2 = \sqrt {x - 3} \\ x > 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 5x + 7 = 0\\ x > 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}.\)

Vậy phương trình có một nghiệm.