Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2\left( {{m}^{2}}+m+2 \right)x+\left( {{m}^{2}}-1 \right)y+\left( m+2 \right)z+{{m}^{2}}+m+1=0\) luôn chứ...

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(2\left( {{m}^{2}}+m+2 \right)x+\left( {{m}^{2}}-1 \right)y+\left( m+2 \right)z+{{m}^{2}}+m+1=0\,\,\forall m\in \mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}\left( 2x+y+1 \right)+m\left( 2x+z+1 \right)+4x-y+2z+1=0\,\,\forall m\in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x + y + 1 = 0\\ 2x + z + 1 = 0\\ 4x - y + 2z + 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x + y + 1 = 0\\ 2x + z + 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = z\\ 2x + y + 1 = 0 \end{array} \right.\)

Vậy (P) luôn chứa đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) cố định \(\left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{t}{2} - \frac{1}{2}\\ y = t\\ z = t \end{array} \right.,t \in R\)

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( -\frac{1}{2};0;0 \right)\) và có vectơ \(\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( -\frac{1}{2};1;1 \right)\)

Vậy khoảng cách từ gốc toạ độ đến \(\Delta \) là: \(d\left( O;\Delta  \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right|}=\frac{\sqrt{2}}{3}.\)