Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần lượt là a và 2a sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và...

* Hướng dẫn giải

Giả sử thiết diện qua trục của hình nón là \(\Delta ABC\) với A là đỉnh nón, BC là đường kính đáy nón, H là tâm đáy O₁, O₂ lần lượt là tâm của mặt cầu lớn và nhỏ D₁, D₂ lần lượt là tiếp điểm của AC với (O₁) và (O₂).

Vì \({{O}_{1}}{{D}_{1}}//{{O}_{2}}{{D}_{2}}\) và \({{O}_{1}}{{D}_{1}}=2{{O}_{2}}{{D}_{2}}\) nên O₂ là trung điểm AO₁

\(\Rightarrow A{{O}_{1}}=2{{O}_{1}}{{O}_{2}}=2.3a=6a\)

\({{O}_{1}}{{D}_{1}}=2a,AH=A{{O}_{1}}+{{O}_{1}}H=8a.\)

Ta có \(A{{D}_{1}}=\sqrt{AO_{1}^{2}-{{O}_{1}}D_{1}^{2}}=4a\sqrt{2}.\)

Từ \(\Delta A{{O}_{1}}{{D}_{1}}\backsim \Delta ACH\Rightarrow \frac{{{O}_{1}}{{D}_{1}}}{CH}=\frac{A{{D}_{1}}}{AH}\Rightarrow CH=2\sqrt{2}a\Rightarrow r=2\sqrt{2}a.\)