Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có \(A\left( 0;0;3 \right),B\left( 0;3;0 \right),C\left( 3;0;0 \right),D\left( 3;3;3 \right).\) Hỏi có bao nhiêu điểm \(M\left...

* Hướng dẫn giải

Ta có phương trình các mặt phẳng (ABC), (DAB), (DBC), (DAC) lần lượt là

\(x+y+z-3=0,\,\,-x+y+z-3=0,\,\,x+y-z-3=0,\,\,x-y+z-3=0.\)

Nếu M(x;y;z) nằm trong tứ diện thì M, O khác phía so với mặt phẳng (ABC) và cùng phía so với các mặt phẳng còn lại, đồng thời M có toạ độ là những số nguyên dương.

Từ đó toạ độ M thoả mãn \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + z - 3 > 0\\ - x + y + z - 3 < 0\\ x - y + z - 3 < 0\\ x + y - z - 3 < 0\\ x,y,z \in {Z^ + } \end{array} \right.\)

Không mất tính tổng quát giả sử \(x\ge y\ge z.\)

Từ \(x+y<3+z\le 3+y\Leftrightarrow x<3\Rightarrow 1\le x,y,z\le 2.\)

Do đó ta có các bộ \(\left( x;y;z \right)\in \left\{ \left( 1;1;2 \right);\left( 1;2;1 \right);\left( 2;1;1 \right);\left( 2;2;2 \right) \right\}\) thoả mãn hệ phương trình trên.

Vậy có tất cả 4 điểm M nằm trong tứ diện.