Cho số phức z thoả mãn \(\left| z-8 \right|+\left| z+8 \right|=20.\) Gọi m, n lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(\left| z \right|.\) Tính P = m + n.

* Hướng dẫn giải

Gọi \(z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\) và \(M\left( x,y \right)\) là điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng phức. Xét các điểm \({{F}_{1}}\left( -8;0 \right),{{F}_{2}}\left( 8;0 \right).\)

Ta có: \(M{{F}_{1}}=\sqrt{{{\left( -8-x \right)}^{2}}+{{\left( -y \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x+8 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\left| z+8 \right|.\)

\(M{{F}_{2}}=\sqrt{{{\left( 8-x \right)}^{2}}+{{\left( -y \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\left| z-8 \right|.\)

\(\Rightarrow \left| z-8 \right|+\left| z+8 \right|=20\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x+8 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=20\Leftrightarrow M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=20.\)

Do \(M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}\ge {{F}_{1}}{{F}_{2}}\Rightarrow \) Tập hợp điểm M là một elip có dạng \(\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a = 20\\ c = 8 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} = 100\\ {b^2} = {a^2} - {c^2} = 36 \end{array} \right. \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \max \left| z \right| = 10\\ \min \left| z \right| = 6 \end{array} \right. \Rightarrow m + n = 16.\)