Cho n và k là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn \(k\le n\) mệnh đề nào dưới đây đúng?

* Hướng dẫn giải

Dựa vào định nghĩa và công thức tính số tổ hợp, chỉnh hợp ta thấy:

\(A_{n}^{k}=\frac{n!}{\left( n-k \right)!}, C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}\,\left( 1\le k\le n \right), C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}\) nên các đáp án A, C, D sai.

Ta có \(C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}=\frac{\left( n-1 \right)!}{\left( k-1 \right)!\left( n-k \right)!}+\frac{\left( n-1 \right)!}{k!\left( n-k-1 \right)!}=\left( n-1 \right)!\left( \frac{n}{k!\left( n-k \right)!} \right)=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}=C_{n}^{k}\).