Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm \({f}'\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 1\,;\,3 \right],f\left( x \right)\ne 0\) với mọi \(x\in \left[ 1\,;3 \right]...

* Hướng dẫn giải

Với \(x\in \left[ 1;\,\,3 \right]\) ta có: \({f}'\left( x \right){{\left[ 1+f\left( x \right) \right]}^{2}}={{\left[ {{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}\left( x-1 \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow \frac{{f}'\left( x \right){{\left[ 1+f\left( x \right) \right]}^{2}}}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{4}}}={{\left( x-1 \right)}^{2}}\)

\(\,\,\,\Leftrightarrow \left( \frac{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{4}}}+\frac{2}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}}+\frac{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}} \right){f}'\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+1\)

Suy ra: \(-\frac{1}{3{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}}-\frac{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}}-\frac{1}{f\left( x \right)}=\frac{{{x}^{3}}}{3}-{{x}^{2}}+x+C\) (lấy nguyên hàm hai vế).

Ta lại có: \(f\left( 1 \right)=-1\Rightarrow \frac{1}{3}-1+1=\frac{1}{3}-1+1+C\Rightarrow C=0\)

Dẫn đến: \(-\frac{1}{3}{{\left( \frac{1}{f\left( x \right)} \right)}^{3}}-{{\left( \frac{1}{f\left( x \right)} \right)}^{2}}-\frac{1}{f\left( x \right)}=-\frac{1}{3}{{\left( -x \right)}^{3}}-{{\left( -x \right)}^{2}}-\left( -x \right)\,\,\,\,\left( * \right)\)

Vì hàm số \(g\left( t \right)=-\frac{1}{3}{{t}^{3}}-{{t}^{2}}-t\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nên \(\left( * \right)\Rightarrow \frac{1}{f\left( x \right)}=-x\Rightarrow f\left( x \right)=-\frac{1}{x}\).

Hàm số này thỏa các giả thiết của bài toán.

Do đó \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{1}^{3}{\left( -\frac{1}{x} \right)\text{d}x=-}\ln 3\Rightarrow a=-1,\,\,b=0\).

Vậy \(S=a+{{b}^{2}}=-1\).