Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ \frac{1}{2};\,\,2 \right]\) và thỏa điều kiện \(f\left( x \right)+2.f\left( \frac{1}{x} \right)=3x\,\,\,\forall x\in {{\ma...

* Hướng dẫn giải

Xét \(x\in {{\mathbb{R}}^{*}}\), ta có

\(f\left( x \right)+2.f\left( \frac{1}{x} \right)=3x\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Thay x bằng \(\frac{1}{x}\) ta được

\(f\left( \frac{1}{x} \right)+2.f\left( x \right)=\frac{3}{x}\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\).

Nhân hai vế đẳng thức \(\left( 2 \right)\) cho 2 rồi trừ cho đẳng thức \(\left( 1 \right)\) vế theo vế ta có

\(3f\left( x \right)=\frac{6}{x}-3x\Rightarrow \frac{f\left( x \right)}{x}=\frac{2}{{{x}^{2}}}-1\).

Suy ra \(I=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}\text{d}x}=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\left( \frac{2}{{{x}^{2}}}-1 \right)\text{d}x=\left. \left( -\frac{2}{x}-x \right) \right|}_{\frac{1}{2}}^{2}=\frac{3}{2}\).