Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z+1 \right|=\sqrt{3}\). Tìm giá trị lớn nhất của \(T=\left| z+4-i \right|+\left| z-2+i \right|\).

* Hướng dẫn giải

Gọi \(z=x+yi,\,\,\left( x,\,y\in \mathbb{R} \right)\)

Ta có, số phức z thỏa mãn \(\left| z+1 \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=3\)

Suy ra, tập hợp tất cả các số phức thỏa mãn thỏa mãn \(\left| z+1 \right|=\sqrt{3}\) là một đường tròn có tâm \(I\left( -1\,;\,0 \right)\) và bán kính \(r=\sqrt{3}\).

Gọi \(M\left( x\,;\,y \right)\in C\left( I,\sqrt{3} \right)\)

\(\Rightarrow T=\left| z+4-i \right|+\left| z-2+i \right|\)

\(=M{{I}_{1}}+M{{I}_{2}}=\sqrt{{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}\), với \({{I}_{1}}\left( -4\,;\,1 \right),\,\,{{I}_{2}}\left( 2\,;\,-1 \right)\)

Ta có, \(\overrightarrow{I{{I}_{1}}}=\left( -3\,;\,1 \right),\,\overrightarrow{I{{I}_{2}}}=\left( 3\,;\,-1 \right)\). Suy ra \(\overrightarrow{I{{I}_{1}}},\,\,\overrightarrow{I{{I}_{2}}}\) cùng phương và 3 điểm \(I,\,\,{{I}_{1}},\,\,{{I}_{2}}\) thẳng hàng.

Ta lại có, I là trung điểm của \({{I}_{1}},\,\,{{I}_{2}}\) và \(\left| \overrightarrow{I{{I}_{1}}} \right|=\sqrt{10}>r,\,\,\left| \overrightarrow{I{{I}_{2}}} \right|=\sqrt{10}>r\). Suy ra các điểm \({{I}_{1}},\,\,{{I}_{2}}\) nằm ngoài đường tròn \(C\left( I,\sqrt{3} \right)\)

Ta có, hình biểu diễn tập hợp các điểm M.

Mặt khác: \(M{{I}_{1}}^{2}+M{{I}_{2}}^{2}=2M{{I}^{2}}+\frac{{{I}_{1}}{{I}_{2}}^{2}}{2}=2.3+20=26\), với \(\left| \overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}} \right|=\sqrt{26},\,\,\,\,\,\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\left( 6\,;-2 \right)\)

Ta có, \(T=M{{I}_{1}}+M{{I}_{2}}\le \sqrt{2\left( M{{I}_{1}}^{2}+M{{I}_{2}}^{2} \right)}\Rightarrow T=M{{I}_{1}}+M{{I}_{2}}\le 2\sqrt{13}\)

Vậy, giá trị lớn nhất của \(T=\left| z+4-i \right|+\left| z-2+i \right|\) bằng \(2\sqrt{13}\) khi và chỉ khi \(M{{I}_{1}}=M{{I}_{2}}\Rightarrow \Delta M{{I}_{1}}{{I}_{2}}\) cân tại M.