Tìm tập hợp tất cả các giá trị tham số m để phương trình \({{4}^{{{x}^{2}}-2x+1}}-m{{.2}^{{{x}^{2}}-2x+2}}+3m-2=0\) có 4 nghiệm phân biệt.

* Hướng dẫn giải

Xét phương trình: \({{4}^{{{x}^{2}}-2x+1}}-m{{.2}^{{{x}^{2}}-2x+2}}+3m-2=0\text{  }{{\text{ }}^{\left( 1 \right)}}\)

Đặt \(t={{2}^{{{x}^{2}}-2x+1}}={{2}^{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}\). Do đó, ta có \({{\left( x-1 \right)}^{2}}={{\log }_{2}}t\). Điều kiện \(\left( t\ge 1 \right)\)

Ta có phương trình: (1) trở thành: \({{t}^{2}}-2mt+3m-2=0\text{    }{{\text{ }}^{\left( 2 \right)}}\)

Ta nhận thấy mỗi giá trị t>1 cho hai giá trị x tương ứng. Như vậy phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa: \(1<{{t}_{1}}<{{t}_{2}}\).

\(\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left( 2t-3 \right)m={{t}^{2}}-2\).

Nhận xét: \(t=\frac{3}{2}\), không là nghiệm phương trình.

Xét \(t\ne \frac{3}{2}, \left( 2 \right)\Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}-2}{2t-3}\). Xét hàm \(g\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-2}{2t-3}\) trên \(\left( 1;+\infty  \right)\backslash \left\{ \frac{3}{2} \right\}\)

\(g'\left( t \right)=\frac{2{{t}^{2}}-6t+4}{{{\left( 2t-3 \right)}^{2}}}\); \(g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1 \\ & t=2 \\ \end{align} \right.\)

Dựa vào bảng biến thiên, ta cần m>2.