Cho hình hộp \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, \(AD=a\sqrt{3}\). Hình chiếu vuông góc của \({A}'\) lên \(\left( ABCD \right)\) trùng với giao điểm củ...

* Hướng dẫn giải

Gọi I là giao điểm của AC và BD.

Dựng \(AH\bot BD\).

Ta có: \({A}'I\bot \left( ABCD \right)\) mà \(AH\subset \left( ABCD \right)\) nên \({A}'I\bot AH\)

Từ đó ta được \(AH\bot \left( {A}'BD \right)\)

Suy ra \(d\left( {B}',\left( {A}'BD \right) \right)=d\left( A,\left( {A}'BD \right) \right)=AH\)

Xét \(\Delta ABD\) vuông tại A: \(\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}}\Rightarrow AH=\sqrt{\frac{A{{B}^{2}}.A{{D}^{2}}}{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Vậy \(d\left( {B}',\left( {A}'BD \right) \right)=AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)