Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O và \(SO\bot (ABCD), SO=\frac{a\sqrt{6}}{3},BC=SB=a\). Số đo góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là:

* Hướng dẫn giải

Theo bài ra ta có \(OB=\sqrt{S{{B}^{2}}-S{{O}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\frac{6{{a}^{2}}}{9}}=\frac{\sqrt{3}a}{3}\) và \(OA=\sqrt{A{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\frac{3{{a}^{2}}}{9}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\).

Chọn hệ trục Oxyz, với \(O\left( 0;0;0 \right),A\left( \frac{a\sqrt{6}}{3};0;0 \right),\,B\left( 0;\frac{a\sqrt{3}}{3};0 \right),S\left( 0;0;\frac{a\sqrt{6}}{3} \right)\), \(C\left( -\frac{a\sqrt{6}}{3};0;0 \right), D\left( 0;-\frac{a\sqrt{3}}{3};0 \right)\).

Phương trình mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left( -1;\sqrt{2};1 \right)\) và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SCD) là \(\overrightarrow{n}'=\left( -1;-\sqrt{2};1 \right)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) ta có:

\(cos\varphi =\left| cos\left( \overrightarrow{n},\overrightarrow{n'} \right) \right|=\frac{\left| 1-2+1 \right|}{\sqrt{{{(-1)}^{2}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}+{{1}^{1}}}\,.\sqrt{{{(-1)}^{2}}+{{\left( -\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{1}^{1}}}}=0\)

Suy ra góc \(\varphi ={{90}^{0}}\)

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là \({{90}^{0}}\)