Cho S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y=x\sqrt{1+{{x}^{2}}}\), trục hoành, trục tung và đường thẳng x=1. Biết \(S=a\sqrt{2}+b\left...

* Hướng dẫn giải

Ta có trục tung có phương trình là: x=0.

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y=x\sqrt{1+{{x}^{2}}}\), trục hoành, trục tung và đường thẳng x=1 là \(S=\int\limits_{0}^{1}{x\sqrt{1+{{x}^{2}}}\text{d}x}\).

Mặt khác

\(S = \int\limits_0^1 {x\sqrt {1 + {x^2}} {\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\sqrt {1 + {x^2}} {\rm{d}}\left( {1 + {x^2}} \right)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}\left| \begin{array}{l} 1\\ 0 \end{array} \right. = \frac{1}{3} \cdot \left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} \left| \begin{array}{l} 1\\ 0 \end{array} \right. = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} - \frac{1}{3} \cdot \)

Biết \(S=a\sqrt{2}+b\left( a,b\in \mathbb{Q} \right)\) nên \(a=\frac{2}{3}\) và \(b=-\frac{1}{3}\cdot \)

Vậy \(a+b=\frac{1}{3}\cdot \).