Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a cạnh bên bằg b.

* Hướng dẫn giải

Xét lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'. Gọi \(E,\,\,E'\) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác \(ABC,\,\,A'B'C'\), M là trung điểm BC và I là trung điểm EE'. Do hình lăng trụ đều nên EE' là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC,\,\,A'B'C'\Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, IA là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

\(AE=\frac{a\sqrt{3}}{3},\,IE=\frac{b}{2}\Rightarrow R=IA=\sqrt{A{{E}^{2}}+I{{E}^{2}}}=\sqrt{\frac{4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}}{12}}.\)

Thể tích khối cầu là \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{\left( \sqrt{\frac{4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}}{12}} \right)}^{3}}=\frac{\pi }{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}}.\)