Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( {{S}_{m}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-m \right)}^{2}}=\frac{{{m}^{2}}}{...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(M\left( x;y;z \right)\), suy ra

\(M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}=9 \Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}-\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}} \right]=9\)

\(\Leftrightarrow  x+y+z-4=0\)

Suy ra: Tập các điểm \(M\left( x;y;z \right)\) thỏa mãn \(M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}=9\) là mặt phẳng \(\left( P \right):x+y+z-4=0\)

Trên \(\left( {{S}_{m}} \right)\) tồn tại điểm M sao cho \(M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}=9\) khi và chỉ khi \(\left( {{S}_{m}} \right)\) và \(\left( P \right)\) có điểm chung \(\Leftrightarrow d\left( I;\left( P \right) \right)\le R \Leftrightarrow \frac{\left| 1+1+m-4 \right|}{\sqrt{1+1+1}}\le \frac{\left| m \right|}{2} \Leftrightarrow 2\left| m-2 \right|\le \sqrt{3}\left| m \right|\)

\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}-16m+16\le 0 \Leftrightarrow 8-4\sqrt{3}\le m\le 8+4\sqrt{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của m là \(8-4\sqrt{3}\).