Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}\) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là 0, 1, m và n. Tính \(S={{m}^{2}}+{{n}^{2}}\).

* Hướng dẫn giải

Khi x=0 thì y=0; x=1 thì y=-1.

Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm \(O\left( 0;0 \right)\) và \(A\left( 1;-1 \right)\). Véctơ chỉ phương của đường thẳng là \(\overrightarrow{OA}=\left( 1;-1 \right)\), từ đó véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left( 1;1 \right)\).

Vì thế đường thẳng có phương trình \(1.\left( x-1 \right)+1.\left( y-0 \right)=0 \Leftrightarrow x+y=0 \Leftrightarrow y=-x\).

Phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị hàm số \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}\) và đường thẳng y=-x là:

\(\begin{array}{l} {x^4} - 2{x^2} = - x \Leftrightarrow x\left( {{x^3} - 2x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^3} - 2x + 1 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x - 1} \right) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\ x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} \end{array} \right. \end{array}\)

Vì thế \(m=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}, n=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\) hoặc \(m=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, n=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\).

Vậy \(S={{m}^{2}}+{{n}^{2}}={{\left( \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}=3\).