Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) và trục hoành gồm 2 phần, phần nằm phía trên trục hoành có diện tích \({{S}_{1}}=\frac{8}{3}\) và phần nằm phía dư...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(\frac{8}{3}={{S}_{1}}=\int\limits_{-2}^{0}{f\left( x \right)\text{d}x};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{12}{5}={{S}_{2}}=-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=-\frac{12}{5}.\)

Tính \(I=\int\limits_{-1}^{0}{f\left( 3x+1 \right)\text{d}x}\)

Đặt \(t=3x+1\Rightarrow \text{d}x=\frac{1}{3}\text{d}t\).

Đổi cận: \(x=-1\Rightarrow t=-2,\,\,x=0\Rightarrow t=1\).

\( \Rightarrow I = \frac{1}{3}\int\limits_{ - 2}^1 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = \frac{1}{3}\left( {\int\limits_{ - 2}^0 {f\left( t \right){\rm{d}}t} + \int\limits_0^1 {f\left( t \right){\rm{d}}t} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{8}{3} - \frac{5}{{12}}} \right) = \frac{3}{4}.\)