Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M(1;\,0;\,1)\) và đường thẳng \(d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3}.\) Đường thẳng đi qua M, vuông góc với d và cắt Oz có phương trình là

* Hướng dẫn giải

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm và \(N=\Delta \cap Oz.\)

Ta có \(N(0;\,0;\,c).\) Vì \(\Delta \) qua \(M,\,N\) và \(M\notin Oz\) nên \(\overrightarrow{MN}(-1;\,0;\,c-1)\) là VTCP của \(\Delta .\)

d có 1 VTCP \(\vec{u}(1;\,2;\,3)\) và \(\Delta \bot d\) nên

\(\overrightarrow{MN}\cdot \vec{u}=0\Leftrightarrow -1+3(c-1)=0\Leftrightarrow c=\frac{4}{3}\Rightarrow \overrightarrow{MN}(-1;\,0;\,\frac{1}{3}).\)

Chọn \(\vec{v}(-3;\,0;\,1)\) là 1 VTCP của \(\Delta \), phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 3t\\ y = 0\\ z = 1 + t \end{array} \right.\)