Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh A và AB = AC

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Gọi M là trung điểm của BC

Do $∆SBC$ cân tại S, nên $SM\perp BC$

$∆ABC$ cân tại A nên $AM\perp BC$

$\Rightarrow BC\perp \left(SAM\right)$

Kẻ $SH\perp AM$

Mà $SH\subset \left(SAM\right)$

$\Rightarrow SH\perp BC$

$\Rightarrow SH\perp \left(ABC\right)$

Vi SA = SB = SC nên H là trọng tâm tam giác ABC.

Xét $∆ABC$ vuông cân tại A, có: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow AM=\frac{1}{2}BC=\frac{a\sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow HM=\frac{1}{3}AM=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{6} \end{gathered}$$

Ta có: $\widehat{\left(\left(SBC\right);\left(ABC\right)\right)}=\widehat{SMH}=60°$

Xét $∆SHM$ vuông tại H, $SH=\tan \widehat{SMH}.HM=\tan 60°.\frac{a\sqrt{2}}{6}=\frac{a}{\sqrt{6}}$

Thể tích hình chóp SABC là: $V_{SABC}=\frac{1}{3}.a^2.\frac{a}{\sqrt{6}}=\frac{a^3}{3\sqrt{6}}$

Theo tỉ số thể tích ta có: $\frac{V_{GABC}}{V_{SABC}}=\frac{GK}{SK}=\frac{1}{3}$ ( với K là trung điểm AB)

$\Rightarrow V_{GABC}=\frac{1}{3}{V}_{SABC}=\frac{a^3}{9\sqrt{6}}=\frac{a^3\sqrt{6}}{54}$