Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và \(\left( {A}'BC \right)\) hợp với mặt đáy ABC một góc \(30{}^\circ \). Tính thể tích V của khố...

* Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BC \bot AA'}\\ {BC \bot AM} \end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {A'MA} \right) \Rightarrow BC \bot A'M\)

\( \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {A'BC} \right),\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {A'MA} = 30^\circ \)

Vì \(AB=a\Rightarrow AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\Rightarrow \tan \widehat{{A}'MA}=\frac{A{A}'}{AM}\Rightarrow A{A}'=\tan \widehat{{A}'BA}.AM=\tan 30{}^\circ .\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{2}\).

Vậy thể tích của \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) là:

\({{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=A{A}'.{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}=\frac{a}{2}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}\).