Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-m{{x}^{3}}+\frac{3}{2}\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}+\left( 1-{{m}^{2}} \right)x+2019\) với m là tham số thực. Biết rằng hà...

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^4} - m{x^3} + \frac{3}{2}\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + \left( {1 - {m^2}} \right)x + 2019.\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x + \left( {1 - {m^2}} \right) = g\left( x \right). \end{array}\)

\(\Rightarrow g'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right).\)

\(g'\left( x \right)=0.\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+\left( {{m}^{2}}-1 \right)=0.\)

\(\Leftrightarrow {{\left( x-m \right)}^{2}}-1=0.\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = m + 1.}\\ {x = m - 1.} \end{array}} \right.\)

Hàm số \(y=f\left( \left| x \right| \right)\) có số điểm cực trị lớn hơn 5.

\(\Leftrightarrow \) Hàm số \(y=f\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị dương.

\(\Leftrightarrow \) Phương trình \(g\left( x \right)=0\) có 3 nghiệm dương phân biệt.

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 1 \ne m - 1}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 1 > 0}\\ {m - 1 > 0}\\ {g\left( {m + 1} \right).g\left( {m - 1} \right) < 0} \end{array}}\\ {g\left( 0 \right) < 0} \end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 1}\\ {\left( {{m^3} - {m^2} - 3m - 1} \right)}\\ {1 - {m^2} < 0} \end{array}} \right.\left( {{m^3} - {m^2} - 3m + 3} \right) < 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 1}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^3} - {m^2} - 3m - 1 < 0}\\ {{m^3} - {m^2} - 3m + 3 > 0} \end{array}}\\ {1 - {m^2} < 0} \end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt 3 < m < 1 + \sqrt 2 .\\ \Rightarrow 3 < {m^2} < 3 + 2\sqrt 2 . \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a = b = 3,\,c = 2.\\ \Rightarrow abc = 18\,. \end{array}\)