Cho phương trình: \({{2}^{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m}}-{{2}^{{{x}^{2}}+x}}+{{x}^{3}}-3x+m=0\). Tập các giá trị để bất phương trình có ba nghiệm phân biệt có dạng \(\left( a\,;\,b \ri...

* Hướng dẫn giải

Ta có

\({2^{{x^3} + {x^2} - 2x + m}} - {2^{{x^2} + x}} + {x^3} - 3x + m = 0 \Leftrightarrow {2^{{x^3} + {x^2} - 2x + m}} + {x^3} + {x^2} - 2x + m = {2^{{x^2} + x}} + {x^2} + x\,\left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{2}^{t}}+t\) trên \(\mathbb{R}\)

Ta có: \({f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+1>0,\,\forall t\in \mathbb{R}\Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Mà \(\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m \right)=f\left( {{x}^{2}}+x \right)\Leftrightarrow {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m={{x}^{2}}+x\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x+m=0\Leftrightarrow m=-{{x}^{3}}+3x\,\left( ** \right)\)

Xét hàm số \(g\left( x \right)=-{{x}^{3}}+3x\) trên \(\mathbb{R}\)

Ta có: \({g}'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+3\)

\({g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\pm 1\).

Bảng biến thiên:

Phương trình \({{2}^{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x+m}}-{{2}^{{{x}^{2}}+x}}+{{x}^{3}}-3x+m=0\) có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \) phương trình (**) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow - 2 < m < 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 2\\ b = 2 \end{array} \right. \Rightarrow a + 2b = 2\)