Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z \right|=2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left| z-4 \right|+2\left| z-3+2i \right|\).

* Hướng dẫn giải

Gọi \(M\left( x;\,y \right)\) là điểm biểu diễn cho số phức z, ta có \(\left| z \right|=2 \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\).

Gọi \(A\left( 4;0 \right), B\left( 3;\,-2 \right)\), khi đó \(P=\left| z-4 \right|+2\left| z-3+2i \right|=MA+2MB\).

Ta có \(MA=\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8x+16} =\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8x+4+3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}=\sqrt{4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-8x+4} =2\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=2ME\) với \(E\left( 1;\,0 \right)\)

Thấy E nằm trong và B nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right): {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\).

Ta được \(P=MA+2MB=2ME+2MB\ge 2EB\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi E, M, B thẳng hàng. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng \({2EB=2\sqrt{4+4}=4\sqrt{2}}\).