Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu \(\left( {{S}_{1}} \right),\left( {{S}_{2}} \right)\) lần lượt có phương trình là \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-2z-22=0...

* Hướng dẫn giải

Mặt cầu \(\left( {{S}_{1}} \right)\) có tâm \({{I}_{1}}=\left( 1;1;1 \right)\), bán kính \({{R}_{1}}=5\)

Mặt cầu \(\left( {{S}_{2}} \right)\) có tâm \({{I}_{2}}=\left( 3;-2;-1 \right)\), bán kính \({{R}_{2}}=3\).

Ta có \(\left| {{R}_{1}}-{{R}_{2}} \right|<{{I}_{1}}{{I}_{2}}=\sqrt{17}<{{R}_{1}}+{{R}_{2}}\) nên hai mặt cầu này cắt nhau.

Do đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc ngoài hai mặt cầu.

Giả sử mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc \(\left( {{S}_{1}} \right),\left( {{S}_{2}} \right)\) theo thứ tự tại điểm \({{H}_{1}},{{H}_{2}}\).

Gọi \(M={{I}_{1}}{{I}_{2}}\cap \left( P \right)\) theo định lý Talet ta có

\(\frac{{M{I_2}}}{{M{I_1}}} = \frac{{{I_2}{H_2}}}{{{I_1}{H_1}}} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}} = \frac{3}{5} \Rightarrow \overrightarrow {M{I_2}} = \frac{3}{5}\overrightarrow {M{I_1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3 - a = \frac{3}{5}\left( {1 - a} \right)\\ - 2 - b = \frac{3}{5}\left( {1 - b} \right)\\ - 1 - c = \frac{3}{5}\left( {1 - c} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 6\\ b = - \frac{{13}}{2}\\ c = - 4 \end{array} \right.\)

Vậy các mặt phẳng (P) luôn đi qua điểm \(M\left( {6;\frac{{ - 13}}{2}; - 4} \right)\) và \(S = a + b + c =  - \frac{9}{2}\).