Tập hợp tất cả các số thực m để phương trình \({{\log }_{2}}x=m\) có nghiệm là

* Hướng dẫn giải

Ta có: Phương trình \({{\log }_{2}}x=m\) (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường, đường cong \(\left( C \right):y={{\log }_{2}}x\) và đường thẳng d:y=m nên số giao điểm của chúng chính là số nghiệm của phương trình (*).

Ta có: \({y}'={{\left( {{\log }_{2}}x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x.\ln 2}>0\,,\,\forall x\in \left( 0\,;\,+\infty\right) \Rightarrow \) Hàm số \(y={{\log }_{2}}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0\,;\,+\infty\right)\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(y={{\log }_{2}}x\), ta thấy đường cong \(\left( C \right):y={{\log }_{2}}x\) và đường thẳng d:y=m luôn cắt nhau \(\forall m\in \mathbb{R}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình \({{\log }_{2}}x=m\) là \(\mathbb{R}\).