Cho hàm số \(y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\) có đồ thị (P). Xét các điểm A, B thuộc (P) sao cho tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường th...

* Hướng dẫn giải

Giả sử phương trình đường thẳng AB là : \(y=\,ax+b\) ta có phương trình hoành độ giao điểm : \(\frac{1}{2}{{x}^{2}}\text{=}\,\text{a}x\text{ }+b\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{x}^{2}}\text{- a}x\text{ - }b=0\,\,\,\,\,(*)\)

Theo đề bài ta có \(\,x_{1}^{{}},\,x_{2}^{{}}\) là hai nghiệm của \(\left( * \right)\)nên \(\frac{1}{2}{{x}^{2}}\text{- a}x\text{- }b=\frac{1}{2}(x-x_{1}^{{}})(x-x_{2}^{{}})\)

Giả sử ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB là:

\(S=\int\limits_{x_{1}^{{}}}^{x_{2}^{{}}}{\text{(ax}+b-\frac{1}{2}{{x}^{2}})dx}=-\frac{1}{2}\int\limits_{x_{1}^{{}}}^{x_{2}^{{}}}{(x-x_{1}^{{}})(x-x_{2}^{{}})dx}=\frac{9}{4}\Leftrightarrow -\frac{{{(x_{1}^{{}}-x_{2}^{{}})}^{3}}}{12}=\frac{9}{4}\Rightarrow x_{1}^{{}}-x_{2}^{{}}=-3\,\,\,(1)\)

Ta lại có tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau nên \(x_{1}^{{}}.\,x_{2}^{{}}=-1\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \({{(x_{1}^{{}}+\,x_{2}^{{}})}^{2}}={{(x_{1}^{{}}-\,x_{2}^{{}})}^{2}}+4x_{1}^{{}}.x_{2}^{{}}=9-4=5\)