Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;1) và hai đường thẳng , . Phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với d1 và cắt d2 là

* Hướng dẫn giải

Đường thẳng \({{d}_{1}}\) có VTCP \(\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=\left( 1;0;-1 \right)\).

Giả sử \(\left( P \right)\) là mặt phẳng qua A và vuông góc với \({{d}_{1}}\Rightarrow \left( P \right):x-2-z+1=0\Leftrightarrow x-z-1=0\)

Gọi B là giao điểm của \(\left( P \right)\) và \({{d}_{2}}.\) Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 2t'\\ y = 3 + t'\\ z = 0\\ x - z - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t' = - 1\\ x = 1\\ y = 2\\ z = 0 \end{array} \right. \Rightarrow B\left( {1;2;0} \right)\)

Đường thẳng cần tìm là đường thẳng AB:

Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( -1;1;-1 \right)\) hay VTCP của đường thẳng cần tìm là \(\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;1 \right)\)

Đường thẳng cần tìm đi qua \(B\left( 1;\,2;\,0 \right)\) và có VTCP là \(\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;1 \right)\)

Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm: \(\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{1}\)