Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Biết \(4f\left( x \right)-{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}={{x}^{2}}+2x, \forall x\in \mathbb{R}\). Tính...

* Hướng dẫn giải

Dựa vào giả thiết ta xét \(f\left( x \right)\) là hàm bậc hai.

Giả sử \(f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c, x\in \mathbb{R}\).

\(\Rightarrow 4f\left( x \right)=4a{{x}^{2}}+4bx+4c\).

Có \({f}'\left( x \right)=2ax+b\Rightarrow {{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}={{\left( 2ax+b \right)}^{2}}=4{{a}^{2}}{{x}^{2}}+4abx+{{b}^{2}}\).

\(4f\left( x \right)-{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}=4a\left( 1-a \right){{x}^{2}}+4b\left( 1-a \right)x+4c-{{b}^{2}}\).

Theo giả thiết \(4f\left( x \right) - {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = {x^2} + 2x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4a\left( {1 - a} \right) = 1\\ 4b\left( {1 - a} \right) = 2\\ 4c - {b^2} = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{2}\\ b = 1\\ c = \frac{1}{4} \end{array} \right.\)

Như vậy hàm số \(f\left( x \right)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}+x+\frac{1}{4}\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Ta có: \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}\text{d}x=\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{{{x}^{2}}}{2}+x+\frac{1}{4} \right)}\text{d}x=\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{6}+\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{1}{4}x \right) \right|_{0}^{1}=\frac{11}{12}\)