Cho \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}+2x}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}dx}=\frac{a}{4}-4\ln \frac{4}{b}\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên dương. Giá trị của a+b bằng

* Hướng dẫn giải

\(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}dx}  = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) - 4\left( {x + 3} \right) - 9 + 12}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}dx}  = \int\limits_0^1 {\left[ {1 - \frac{4}{{x + 3}} + \frac{3}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \right]dx} \)

\( = 1 - 4\ln \left| {x + 3} \right||_0^1 - \frac{3}{{x + 3}}|_0^1 = 1 - 4\ln \frac{4}{3} - \frac{3}{4} + 1 = \frac{5}{4} - 4\ln \frac{4}{3}\)

Theo giả thiết \(\Rightarrow a=5,\,\,b=3\) nên a+b=8.