Cho hàm số . Tính \(I = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx + 3\int\limits_0^1 {f\left( {3 - 2x} \right)} } dx\)

* Hướng dẫn giải

+ Xét tích phân: \({{I}_{1}}=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos xdx}\)

Đặt: \(t=\sin x\Rightarrow dt=\cos xdx\).

Đổi cận: với x=0 thì t=0, với \(x=\frac{\pi }{2}\) thì t=1.

\({{I}_{1}}=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos xdx}=2\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}=2\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx=}2\int\limits_{0}^{1}{\left( 5-x \right)dx=\left. \left( 10x-{{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{1}}=9\)

+ Xét tích phân: \({{I}_{2}}=3\int\limits_{0}^{1}{f\left( 3-2x \right)}dx\)

Đặt: \(t=3-2x\Rightarrow dt=-2dx\Rightarrow dx=-\frac{1}{2}dt\)

Đổi cận: với x=0 thì t=3, với x=1 thì t=1.

\(\begin{align} & {{I}_{2}}=3\int\limits_{0}^{1}{f\left( 3-2x \right)}dx=-\frac{3}{2}\int\limits_{3}^{1}{f\left( t \right)}dt=-\frac{3}{2}\int\limits_{3}^{1}{f\left( x \right)}dx \\ & =-\frac{3}{2}\int\limits_{3}^{1}{\left( {{x}^{2}}+3 \right)}dx=\left. \left( -\frac{1}{2}{{x}^{3}}-\frac{9}{2}x \right) \right|_{3}^{1}=22. \\ \end{align}\)

Vậy: \(I=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos xdx+3\int\limits_{0}^{1}{f\left( 3-2x \right)}}dx=9+22=31\).