Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn \(\log _{3}^{{}}\left( x+y \right)=\log _{4}^{{}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\)?

* Hướng dẫn giải

Điều kiện \(x+y>0;{{x}^{2}}+{{y}^{2}}>0.\)

Đặt \(t=\log _{3}^{{}}\left( x+y \right)=\log _{4}^{{}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\). Ta có \(\left\{ \begin{align} & x+y={{3}^{t}} \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{4}^{t}} \\ \end{align} \right.\left( 1 \right)\)

Vì \({{\left( x+y \right)}^{2}}\le 2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\Rightarrow {{\left( {{3}^{t}} \right)}^{2}}\le {{2.4}^{t}}\Rightarrow t\le \log _{\frac{9}{4}}^{{}}2\)

Thế thì \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{4}^{t}}\le {{4}^{\log _{\frac{9}{4}}^{{}}2}}\approx 3,27\), vì x nguyên vậy nên \({{x}^{2}}\in \left\{ 0;1 \right\}\).

Với x=0, ta có hệ \(\left\{ \begin{align} & y={{3}^{t}} \\ & {{y}^{2}}={{4}^{t}} \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t=0 \\ & y=1 \\ \end{align} \right.\)

Với x=1, ta có hệ \(\left\{ \begin{align} & y={{3}^{t}}-1 \\ & {{y}^{2}}={{4}^{t}}-1 \\ \end{align} \right..\) Hệ này có nghiệm \(\left\{ \begin{align} & t=0 \\ & y=0 \\ \end{align} \right.. \)

Với x=-1, ta có hệ \(\left\{ \begin{align} & y={{3}^{t}}+1 \\ & {{y}^{2}}={{4}^{t}}-1 \\ \end{align} \right..\)

Ta có phương trình \({{\left( {{3}^{t}}+1 \right)}^{2}}={{4}^{t}}-1\Leftrightarrow {{9}^{t}}+{{2.3}^{t}}-{{4}^{t}}+2=0\left( * \right)\)

Đặt \(f\left( t \right)={{9}^{t}}+{{2.3}^{t}}-{{4}^{t}}+2\), ta có

Với \(t\ge 0\Rightarrow {{9}^{t}}\ge {{4}^{t}}\Rightarrow f\left( t \right)>0\)

Với \(t<0\Rightarrow {{4}^{t}}<2\Rightarrow f\left( t \right)>0\)

Vậy phương trình \(\left( * \right)\) vô nghiệm

Kết luận: Vậy \(x\in \left\{ 0;1 \right\}\)