Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau \({{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( x-1 \right)>{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{x}^{3}}+x-m \right)\) có nghiệm.

* Hướng dẫn giải

Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x-1>0 \\ & x-1<{{x}^{3}}+x-m \\ \end{align} \right.\) có nghiệm \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x>1 \\ & m<{{x}^{3}}+1=f(x) \\ \end{align} \right.\) có nghiệm.

Khảo sát hàm y=f(x) trên khoảng \(\left( 1\,;+\infty \, \right)\), ta có \({{f}^{'}}\left( x \right)\,=\,3{{x}^{2}}\,>\,0\,;\,\forall \,x>\,1\).

Bảng biến thiên sau:

Từ BBT ta thấy để hệ có nghiệm ta có \(\forall m\in \mathbb{R}\)