Cho \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sqrt{2+3\tan x}}{1+\cos 2x}dx=a\sqrt{5}+b\sqrt{2},\,\,}\) với \(a,\,\,b\in \mathbb{R}.\) Tính giá trị biểu thức A=a+b.

* Hướng dẫn giải

Ta có \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sqrt{2+3\tan x}}{1+\cos 2x}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sqrt{2+3\tan x}}{2{{\cos }^{2}}x}\text{d}x}\)

Đặt \(u=\sqrt{2+3\tan x}\Rightarrow {{u}^{2}}=2+3\tan x\Rightarrow 2u\text{d}u=\frac{3}{{{\cos }^{2}}x}\text{d}x\)

Đổi cận \(x=0\Rightarrow u=\sqrt{2}\)

\(x=\frac{\pi }{4}\Rightarrow u=\sqrt{5}\)

Khi đó \(I=\frac{1}{3}\int\limits_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}}{{{u}^{2}}\text{d}u}=\frac{1}{9}\left. {{u}^{3}} \right|_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{9}-\frac{2\sqrt{2}}{9}\)

Do đó \(a=\frac{5}{9}, b=-\frac{2}{9}a=\frac{5}{9},\,\,b=-\frac{2}{9}\Rightarrow a+b=\frac{1}{3}\)