Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\), SAB$ là tam giác đều cạnh \(a\sqrt{3}, BC=a\sqrt{3}\) đường thẳng SC tạo với...

* Hướng dẫn giải

Ta thấy tam giác ABC cân tại B, gọi H là trung điểm của AB suy ra \(BH\bot AC.\)

Do \(\left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)\) nên \(BH\bot \left( SAC \right)\)

Ta lại có BA=BC=BS nên B thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\Rightarrow\) H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(SAC\Rightarrow SA\bot SC\)

Do AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\Rightarrow \widehat{SCA}={{60}^{0}}\)

Ta có \(SC=SA.\cot {{60}^{0}}=a, AC=\frac{SA}{\sin {{60}^{0}}}=2a \Rightarrow HC=a \Rightarrow BH=\sqrt{B{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}\)

\({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}BH.{{S}_{SAC}}=\frac{1}{6}BH.SA.SC$=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}\)