Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) có \(AB=A{A}'=a,AD=2a\). Gọi góc giữa đường chéo \({A}'C\) và mặt phẳng đáy \(\left( ABCD \right)\) là \(\alpha \). Khi đó \(\tan \a...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(A{A}'\bot \left( ABCD \right)\) nên hình chiếu vuông góc của \({A}'C\) lên \(\left( ABCD \right)\) là đường AC.

Suy ra góc giữa \({A}'C\) và \(\left( ABCD \right)\) là góc giữa \({A}'C\) và AC hay góc \(\widehat{AC{A}'}=\alpha \).

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ABC vuông tại B ta có:

\(A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{a}^{2}}+4{{a}^{2}}=5{{a}^{2}}\Rightarrow AC=a\sqrt{5}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác \(A{A}'C\) vuông tại A ta có:

\(\tan \alpha =\frac{A{A}'}{AC}=\frac{a}{a\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\)