Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số \(y={{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}\) có bao nhiêu điểm cực trị?

* Hướng dẫn giải

Xét \(y' = 2f\left( x \right).f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {_{f'\left( x \right) = 0}^{f\left( x \right) = 0} \Leftrightarrow } \right.\left[ {_{x = \left\{ {a;1;b} \right\}}^{x = \left\{ {0;1;3} \right\}}} \right.\) với \(0<a<1\,;\,2<b<3\).

Dựa vào đồ thị ta thấy x=1 là nghiệm kép nên \(f\left( x \right)\) không đổi dấu qua x=1 nhưng \(f'\left( x \right)\) vẫn đổi dấu qua đó.

Còn tất cả nghiệm còn lại đều là nghiệm đơn nên \(f\left( x \right)\,va\,f'\left( x \right)\) đều đổi dấu. Như vậy hàm số \(y={{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}\) có tất cả 5 điểm cực trị.