Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \(\left( \left| m \right|...

* Hướng dẫn giải

ĐK: x+2m>0

Ta có \({{2}^{x-1}}={{\log }_{4}}\left( x+2m \right)+m\Leftrightarrow {{2}^{x}}={{\log }_{2}}\left( x+2m \right)+2m\)

Đặt \(t={{\log }_{2}}\left( x+2m \right)\) ta có \(\left\{ \begin{align} & {{2}^{x}}=t+2m \\ & {{2}^{t}}=x+2m \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{2}^{x}}+x={{2}^{t}}+t\left( 1 \right)\)

Do hàm số \(f\left( u \right)={{2}^{u}}+u\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), nên ta có \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow t=x\). Khi đó:

\({{2}^{x}}=x+2m\Leftrightarrow 2m={{2}^{x}}-x\)

Xét hàm số \(g\left( x \right)={{2}^{x}}-x\Rightarrow {g}'\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2-1=0\Leftrightarrow x=-{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right)\).

Bảng biến thiên:

Từ đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \(2m\ge g\left( -{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right) \right)\Leftrightarrow m\ge \frac{g\left( -{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right) \right)}{2}\approx 0,457\) (các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện vì \(x+2m={{2}^{x}}>0\))

Do m nguyên và \(\left| m \right|<10\), nên \(m\in \left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right\}\).