Cho số phức z thỏa mãn \(5\left| z-i \right|=\left| z+1-3i \right|+3\left| z-1+i \right|\). Tìm giá trị lớn nhất M của \(\left| z-2+3i \right|\) ?

* Hướng dẫn giải

Gọi \(A\left( 0;1 \right), B\left( -1;3 \right),C\left( 1;-1 \right)\). Ta thấy A là trung điểm của BC

\(\Rightarrow M{{A}^{2}}=\frac{M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}}{2}-\frac{B{{C}^{2}}}{4}\Leftrightarrow M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=2M{{A}^{2}}+\frac{B{{C}^{2}}}{2}=2M{{A}^{2}}+10\).

Ta lại có : \(5\left| z-i \right|=\left| z+1-3i \right|+3\left| z-1+i \right|\)

\(\Leftrightarrow 5MA=MB+3MC\le \sqrt{10}.\sqrt{M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}}\)

\(\Rightarrow 25M{{A}^{2}}\le 10\left( 2M{{A}^{2}}+10 \right) \Rightarrow MC\le 2\sqrt{5}\)

Mà $\left| z-2+3i \right|=\left| \left( z-i \right)+\left( -2+4i \right) \right| \le \left| z-i \right|+\left| 2-4i \right| \le \left| z-i \right|+2\sqrt{5}\le 4\sqrt{5}\).

Dấu ''='' xảy ra khi \(\left\{ \begin{align} & \left| z-i \right|=2\sqrt{5} \\ & \frac{a}{-2}=\frac{b-1}{4} \\ \end{align} \right.\), với z=a+bi; \(a,\text{ }b\in \mathbb{R}\).

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & z=2-3i\text{ }\left( loại \right) \\ & z=-2+5i \\ \end{align} \right.\)