Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{x+2}{x-1}\) trên đoạn \(\left[ 2;3 \right]\). Tính \({{M}^{2}}+{{m}^{2}}\).

* Hướng dẫn giải

Ta có: \({{y}^{'}}=\frac{-3}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}<0,\forall x\ne 1\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( -\infty ;1 \right),\left( 1;+\infty  \right)\)

\(\Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\left[ 2;3 \right]\)

Do đó: \(m=\underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{min}}\,y=y\left( 3 \right)=\frac{5}{2},M=\underset{\left[ 2;3 \right]}{\mathop{Max}}\,y=y\left( 2 \right)=4\)

Vậy: \({{M}^{2}}+{{m}^{2}}={{4}^{2}}+{{\left( \frac{5}{2} \right)}^{2}}=\frac{89}{4}\)