Hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị \(y={f}'\left( x \right)\) như hình vẽ. Xét hàm số \(g\left( x \right)=f\left( x \right)-\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{3}{4}{{x}^{2}}+\frac...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-{{x}^{2}}-\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}=f'\left( x \right)-({{x}^{2}}+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2})\) Căn cứ vào đồ thị ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} f'( - 1) = - 2\\ f'(1) = 1\\ f'( - 3) = 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} g'( - 1) = 0\\ g'(1) = 0\\ g'( - 3) = 0 \end{array} \right.\)

Vẽ Parabol (P): \(y={{x}^{2}}+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}\) trên cùng hệ trục với đồ thị của hàm số \(y={f}'\left( x \right)\)

Ta có: Trên (-3;-1) thì \(f'\left( x \right)<{{x}^{2}}+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}\) nên \(g'\left( x \right)<0\,\forall x\in (-3;-1)\)

Trên (-1;1) thì \(f'\left( x \right)>{{x}^{2}}+\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}\) nên \(g'\left( x \right)>0\,\forall x\in (-1;1)\)

Khi đó BBT của hàm số \(g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ -3;1 \right]\):

Vậy \(\underset{x\in \left[ -3;1 \right]}{\mathop{\min }}\,g(x)=g(-1), g(0)<g(1)\), hàm số g(x) nghịch biến trên (-3;-1) và \(\underset{x\in \left[ -3;1 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=\max \left\{ g(-3),g(-1) \right\}\)