Tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình \({{\left( \sqrt{10}+1 \right)}^{x}}-m{{\left( \sqrt{10}-1 \right)}^{x}}>{{3}^{x+1}}\) nghiệm đúng với mọi \(x\in \mathbb{R}\)...

* Hướng dẫn giải

+) Xét bất phương trình \({{\left( \sqrt{10}+1 \right)}^{x}}-m{{\left( \sqrt{10}-1 \right)}^{x}}>{{3}^{x+1}} \left( 1 \right)\)

+) \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\left( \frac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{x}}-m{{\left( \frac{\sqrt{10}-1}{3} \right)}^{x}}>3\)

+) Nhận xét : \(\frac{\sqrt{10}+1}{3}.\frac{\sqrt{10}-1}{3}=1\Rightarrow \left( \frac{\sqrt{10}-1}{3} \right)={{\left( \frac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{-1}}\)

Do đó \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\left( \frac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{x}}-m{{\left( \frac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{-x}}>3\)

+) Đặt \(t={{\left( \frac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{x}}, t>0\)

Khi đó \(\left( 1 \right)\) trở thành: \(t-\frac{m}{t}>3\Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t>m\left( 2 \right)\)

+) \(\left( 1 \right)\) nghiệm đúng với mọi \(x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left( 2 \right)\) nghiệm đúng với mọi t>0.

+) Ta có bảng biến thiên

+) Từ bảng biến thiên ta có \(m<-\frac{9}{4}\)